Geomeetriline jada

Geomeetriline jada on arvjada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme jagatis on konstantne, kuid mitte üks. (Miks?)

  

Geomeetriline jada on näiteks

• ... 1 2 4 8 16 ... , kus tegu on kasvava jadaga, mille tegur on 2 (2/1 = 4/2 = 8/4 =... = 2)
• ... 2 -6 18 -54 ..., kus tegu on vahelduvate märkidega jadaga, mille tegur on -3 (-6/2 = 18/ -6 = -54/ 18 = ... = -3)
• ... 200 100 50 25 ..., kus tegu on kahaneva jadaga, mille tegur on 0,5 (100/200 = 50/100 = 25/ 50 = ... =0,5)

Geomeetriline jada ei ole näiteks

• ... 10 20 30 40 ...., sest 20/10 ≠ 30/20

Tähistame geomeetrilise jada elemendid sümbolitega a₁ a₂ a₃ a₄ ning jada teguri sümboliga q. Siis

q = a₂ / a₁ = a₃ / a₂ = a₄ / a₃

Geomeetriline jada on kasvav, kui d > 1 ja kahanev, kui -1 < d < 1. (Märkus: kui q < 0, siis ei kahane indeksi kasvades mitte jada liikmed vaid nende absoluutväärtused); kui tegur q > 0, siis on geomeetrilise jada liikmed sama märgiga, kui tegur q < 0, siis on jada liikmed vahelduvate märkidega.

Kas geomeetrilise jada tegur võib olla 0? Kas geomeetrilise jada liige võib olla 0? Mis ühikutes väljendatakse geomeetrilise jada tegurit?

  

Suvalise elemendi geomeetrilisest jadast saab leida kasutades valemit

(3)       a_n = a_{1 *} q^n-1 

kus a₁ on jada esimene liige, q on jada vahe ning n näitab mitmendat jada liiget me otsime. 

  

---

Näide: Meenutame legendi malelaua leiutamisest. Selle järgi olevat mängu leiutaja nõudnud rahulolevalt valitsejalt tasu nisuterades. Leiutaja palus nii palju vilja, et malelaua esimesele ruudule oleks pandud üks nisutera, teisele kaks, kolmandale neli, neljandale kaheksa jne, iga ruudu eest kaks korda rohkem teri kui eelmise eest. Kuigi valitseja arvas selle liiga tagasihoidliku soovi olevat, keeldus leiutaja vastu võtmast kulda ja vääriskive valitseja varasalvedest, piirdudes "tagasihoidliku" viljavaruga. Kui palju teri sai leiutaja viimase malelaua ruudu eest?

Tegu on geomeetrilise jadaga, kus jada esimene liige a₁ = 1, teine liige (terade arv teisel ruudul) a₂ = 2, kolmas liige (terade arv kolmandal ruudul) a₃= 4 jne, jada tegur q  = 2/1 = 4/2 = 2.

Siit, arvestades, et malelaual on 8 x 8 ehk 84 ruutu, saame valemi (3) põhjal a₆₄ = 1 * 2^64-1 = 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808

Vastus: Viimasel malelaua ruudul oleks 9 223 372 036 854 775 808 nisutera. Kuidas seda arvu lugeda? (vihje: http://en.wikipedia.org/wiki/Trilliard)

  

---

Geomeetrilise jada liikmete summa saab arvutada valemiga

(4)      S_n = [a₁ * (qⁿ-1)] / (q-1)

kus n näitab mitme liikme summat leiame, a₁ on jada esimene liige, q on jada tegur.

  

---

Näide: Meenutame jälle legendi malelaua leiutamisest. Kui palju teri sai leiutaja kokku?

Tegu on geomeetrilise jadaga, kus jada esimene liige a₁ = 1, teine liige (terade arv teisel ruudul) a₂ = 2, kolmas liige (terade arv kolmandal ruudul) a₃ = 4 jne, jada tegur q  = 2/1 = 4/2 = 2.

Siit, arvestades, et malelaual on 8 x 8 ehk 64 ruutu, saame valemi (4) põhjal S₆₄ = 1 * (2⁶⁴-1) / (2-1) =18 446 744 073 709 551 615

Vastus: Viimasel malelaua ruudul oleks 18 446 744 073 709 551 615 nisutera.
Mitu tonni see teeb? Näiteks, Babülonis oli nisutera kaal etaloniks mida nimetati graan (vaata lähemalt vt http://www.ajaloomuuseum.ut.ee/772016)