Jadad

Aritmeetiline jada on arvjada, milles liikme ja temale eelneva liikme vahe on konstantne, kuid mitte null (Miks?)

Aritmeetiline jada on näiteks

• ... 2 4 6 8 ..., kus tegu on kasvava jadaga, mille vahe on 2 (4-2 = 6-4 = ... =2)
• ... 10 7 4 1 -2 -5 ..., kus tegu on kahaneva jadaga, mille vahe on -3 (4-1 = -2-1 =-5-(-2) = ... = -3)

Aritmeetiline jada ei ole näiteks

• ... 2 4 8 16 ..., sest 4-2 ≠ 8-4
• ... 1 4 7 14 ..., sest 4-1 = 7-4 ≠ 14-7

Tähistame aritmeetilise jada elemendid sümbolitega a₁ a₂ a₃ a₄ ning jada vahe sümboliga d. Siis

d = a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = a₄ - a₃

Aritmeetiline jada on kasvav, kui d > 0 ja kahanev kui d < 0. (Mis ühikutes väljendatakse jada vahet?)

  

Suvalise elemendi aritmeetilisest jadast saab leida kasutades valemit

(1)       a_n = a₁ + (n - 1) *d 

kus a₁ on jada esimene liige, d on jada vahe ning n näitab mitmendat jada liiget me otsime. (Miks on valemis seos n-1?)

---

Näide: Karastusjoogi 7Up turustaja otsustas SEB maijooksu jooksjatele jagada karastusjooke. Joogi pidi saama võitja ning iga temale järgnev seitsmes lõpetaja (nt 8s, 15s jne). Mitmendana lõpetab kümnenda pudeli võitja? 

Tegu on aritmeetilise jadaga, kus esimene liige on (võitja) a₁ = 1, teine liige a₂ = 8 (-s koht), kolmas liige a₃ = 15 (-s lõpetaja) jne. Jada vahe on d = 7.

Meie käest küsitakse 10nda pudeli võitjat ehk liiget a₁₀. Kasutades valemit (1), saame a₁₀ = 1 + (10-1) * 7 = 64.

Vastus: Kümnenda pudeli saab 64s lõpetaja.

  

---

Aritmeetilise jada liikmete summa saab arvutada valemiga

(2)      S_n = (a₁ + a_n) * n/2

kus n näitab mitme liikme summat leiame, a₁ on jada esimene liige, a_n on jada n-s liige.

---

Näide: Pere kolmas poeg läks linna õnne otsima ning lubas emale, et saadab oma esimese kuu teenistusest 3%, teise kuu teenistusest 6%, kolmanda kuu teenistusest 9% jne perele. Kui palju maksis poeg aasta jooksul perele toetust kui ta hakkas teenima 1000 raha kuus?

Tegu on aritmeetilise jadaga, kus esimene liige (esimesel kuul koju saadetud summa) on 3% 1000st ehk 30 raha, teine liige on 6% 1000st ehk 60 raha, kolmas liige on 9% 1000st ehk 90 raha jne. Jada vahe on 30 raha (d = 60 - 30 = 90 - 60 = ...). Aastase summa leidmiseks peaksime jada kaksteist liiget kokku liitma ehk leidma jada 12 liikme summa, seega n = 12 (aasta) ning kasutame valemit (2).

S₁₂ = (30 + a₁₂) * 12/2

Nagu selgus valemit kasutades, ei tea me jada 12nda liikme väärtust. Seega peame eelnevalt kasutama valemit (1) a₁₂ välja arvutamiseks: a₁₂ = 30 + (12-1) *30 = 360. Siit

S₁₂ = (30 + 360) *6 = 2340 raha 

Vastus: Sellistel tingimustel saadab poeg aasta jooksul koju 2340 raha. 

---

Proovime lahendada aritmeetilise jada ülesandeid.

Vaata siit - testmoz.com/80051

---

Geomeetriline jada on arvjada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme jagatis on konstantne, kuid mitte üks. (Miks?)

  

Geomeetriline jada on näiteks

• ... 1 2 4 8 16 ... , kus tegu on kasvava jadaga, mille tegur on 2 (2/1 = 4/2 = 8/4 =... = 2)
• ... 2 -6 18 -54 ..., kus tegu on vahelduvate märkidega jadaga, mille tegur on -3 (-6/2 = 18/ -6 = -54/ 18 = ... = -3)
• ... 200 100 50 25 ..., kus tegu on kahaneva jadaga, mille tegur on 0,5 (100/200 = 50/100 = 25/ 50 = ... =0,5)

Geomeetriline jada ei ole näiteks

• ... 10 20 30 40 ...., sest 20/10 ≠ 30/20

Tähistame geomeetrilise jada elemendid sümbolitega a₁ a₂ a₃ a₄ ning jada teguri sümboliga q. Siis

q = a₂ / a₁ = a₃ / a₂ = a₄ / a₃

Geomeetriline jada on kasvav, kui d > 1 ja kahanev, kui -1 < d < 1. (Märkus: kui q < 0, siis ei kahane indeksi kasvades mitte jada liikmed vaid nende absoluutväärtused); kui tegur q > 0, siis on geomeetrilise jada liikmed sama märgiga, kui tegur q < 0, siis on jada liikmed vahelduvate märkidega.

Kas geomeetrilise jada tegur võib olla 0? Kas geomeetrilise jada liige võib olla 0? Mis ühikutes väljendatakse geomeetrilise jada tegurit?

  

Suvalise elemendi geomeetrilisest jadast saab leida kasutades valemit

(3)       a_n = a_{1 *} q^n-1 

kus a₁ on jada esimene liige, q on jada vahe ning n näitab mitmendat jada liiget me otsime. 

  

---

Näide: Meenutame legendi malelaua leiutamisest. Selle järgi olevat mängu leiutaja nõudnud rahulolevalt valitsejalt tasu nisuterades. Leiutaja palus nii palju vilja, et malelaua esimesele ruudule oleks pandud üks nisutera, teisele kaks, kolmandale neli, neljandale kaheksa jne, iga ruudu eest kaks korda rohkem teri kui eelmise eest. Kuigi valitseja arvas selle liiga tagasihoidliku soovi olevat, keeldus leiutaja vastu võtmast kulda ja vääriskive valitseja varasalvedest, piirdudes "tagasihoidliku" viljavaruga. Kui palju teri sai leiutaja viimase malelaua ruudu eest?

Tegu on geomeetrilise jadaga, kus jada esimene liige a₁ = 1, teine liige (terade arv teisel ruudul) a₂ = 2, kolmas liige (terade arv kolmandal ruudul) a₃= 4 jne, jada tegur q  = 2/1 = 4/2 = 2.

Siit, arvestades, et malelaual on 8 x 8 ehk 64 ruutu, saame valemi (3) põhjal a₆₄ = 1 * 2^64-1 = 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808

Vastus: Viimasel malelaua ruudul oleks 9 223 372 036 854 775 808 nisutera. Kuidas seda arvu lugeda? (vihje: http://en.wikipedia.org/wiki/Trilliard)

  

---

Geomeetrilise jada liikmete summa saab arvutada valemiga

(4)      S_n = [a₁ * (qⁿ-1)] / (q-1)

kus n näitab mitme liikme summat leiame, a₁ on jada esimene liige, q on jada tegur.

  

---

Näide: Meenutame jälle legendi malelaua leiutamisest. Kui palju teri sai leiutaja kokku?

Tegu on geomeetrilise jadaga, kus jada esimene liige a₁ = 1, teine liige (terade arv teisel ruudul) a₂ = 2, kolmas liige (terade arv kolmandal ruudul) a₃ = 4 jne, jada tegur q  = 2/1 = 4/2 = 2.

Siit, arvestades, et malelaual on 8 x 8 ehk 64 ruutu, saame valemi (4) põhjal S₆₄ = 1 * (2⁶⁴-1) / (2-1) =18 446 744 073 709 551 615

Vastus: Viimasel malelaua ruudul oleks 18 446 744 073 709 551 615 nisutera.
Mitu tonni see teeb? Näiteks, Babülonis oli nisutera kaal etaloniks mida nimetati graan (vaata lähemalt vt http://www.ajaloomuuseum.ut.ee/772016)

---


Proovi lahendada ka geomeetrilise jada ülesannet!

testmoz.com/80058