Aritmeetiline jada

Aritmeetiline jada on arvjada, milles liikme ja temale eelneva liikme vahe on konstantne, kuid mitte null (Miks?)

Aritmeetiline jada on näiteks

• ... 2 4 6 8 ..., kus tegu on kasvava jadaga, mille vahe on 2 (4-2 = 6-4 = ... =2)
• ... 10 7 4 1 -2 -5 ..., kus tegu on kahaneva jadaga, mille vahe on -3 (4-1 = -2-1 =-5-(-2) = ... = -3)

Aritmeetiline jada ei ole näiteks

• ... 2 4 8 16 ..., sest 4-2 ≠ 8-4
• ... 1 4 7 14 ..., sest 4-1 = 7-4 ≠ 14-7

Tähistame aritmeetilise jada elemendid sümbolitega a₁ a₂ a₃ a₄ ning jada vahe sümboliga d. Siis

d = a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = a₄ - a₃

Aritmeetiline jada on kasvav, kui d > 0 ja kahanev kui d < 0. (Mis ühikutes väljendatakse jada vahet?)

  

Suvalise elemendi aritmeetilisest jadast saab leida kasutades valemit

(1)       a_n = a₁ + (n - 1) *d 

kus a₁ on jada esimene liige, d on jada vahe ning n näitab mitmendat jada liiget me otsime. (Miks on valemis seos n-1?)

---

Näide: Karastusjoogi 7Up turustaja otsustas SEB maijooksu jooksjatele jagada karastusjooke. Joogi pidi saama võitja ning iga temale järgnev seitsmes lõpetaja (nt 8s, 15s jne). Mitmendana lõpetab kümnenda pudeli võitja? 

Tegu on aritmeetilise jadaga, kus esimene liige on (võitja) a₁ = 1, teine liige a₂ = 8 (-s koht), kolmas liige a₃ = 15 (-s lõpetaja) jne. Jada vahe on d = 7.

Meie käest küsitakse 10nda pudeli võitjat ehk liiget a₁₀. Kasutades valemit (1), saame a₁₀ = 1 + (10-1) * 7 = 64.

Vastus: Kümnenda pudeli saab 64s lõpetaja.

  

---Aritmeetilise jada liikmete summa saab arvutada valemiga

(2)      S_n = (a₁ + a_n) * n/2

kus n näitab mitme liikme summat leiame, a₁ on jada esimene liige, a_n on jada n-s liige.

 

---

Näide: Pere kolmas poeg läks linna õnne otsima ning lubas emale, et saadab oma esimese kuu teenistusest 3%, teise kuu teenistusest 6%, kolmanda kuu teenistusest 9% jne perele. Kui palju maksis poeg aasta jooksul perele toetust kui ta hakkas teenima 1000 raha kuus?

Tegu on aritmeetilise jadaga, kus esimene liige (esimesel kuul koju saadetud summa) on 3% 1000st ehk 30 raha, teine liige on 6% 1000st ehk 60 raha, kolmas liige on 9% 1000st ehk 90 raha jne. Jada vahe on 30 raha (d = 60 - 30 = 90 - 60 = ...). Aastase summa leidmiseks peaksime jada kaksteist liiget kokku liitma ehk leidma jada 12 liikme summa, seega n = 12 (aasta) ning kasutame valemit (2).

S₁₂ = (30 + a₁₂) * 12/2

Nagu selgus valemit kasutades, ei tea me jada 12nda liikme väärtust. Seega peame eelnevalt kasutama valemit (1) a₁₂ välja arvutamiseks: a₁₂ = 30 + (12-1) *30 = 360. Siit

S₁₂ = (30 + 360) *6 = 2340 raha 

Vastus: Sellistel tingimustel saadab poeg aasta jooksul koju 2340 raha.